课本气体动理论关键知识点。
理想气体物态方程
key 1
$$
pV=\nu RT
$$
式中，$\nu=m/M$ 为气体的物质的量，
$M$ 为气体的摩尔质量，$M=$ 相对分子质量 $\times10^{-3}kg$，
$R=8.31J/(mol·K)$ 为摩尔气体质量。
key 2
根据阿伏伽德罗常量$N=6.022\times10^{23}mol^{-1}$，
引入玻尔兹曼常量$k=\frac R{N_A}=1.38\times10^{-23}J/K$，
于是将理想气体物态方程改写为：
$$
p=nkT
$$
式中$n=\frac NV$ 是单位体积内的分子数，即分子数密度。
key 3
对于混合理想气体，由道尔顿分压定律指出：混合理想气体的压强等于各组分的分压强之和。即$p=\sum\limits_i p_i$
对每一组分都有$p_iV_i=\frac {m_i}{M_i}RT$
于是混合理想气体的方程可以写成与单一成分理想气体方程相同的形式：
$$
pV=\frac mMRT
$$
其中$M$为平均摩尔质量
$$
\frac 1M=\sum\limits_i \frac{m_i}{m}\frac 1{M_i}
$$
理想气体微观模型
作以下力学假设：
- 分子的大小可忽略不计
- 气体分子与分子之间及气体分子与容器壁之间除碰撞外无相互作用
- 除特别考虑外，一般不计分子重力
- 分子间及分子与器壁间的碰撞为弹性碰撞，遵守动量守恒定律和动能守恒定律
定义理想气体分子的平均平动动能
$$
\bar{\varepsilon_t}=\frac12m_f\bar{v^2}
$$
则气体压强可以写成
$$
p=\frac23n\bar{\varepsilon_t}
$$
再与理想气体物态方程$p=nkT$ 作比较，于是
$$
\bar{\varepsilon_t}=\frac{3kT}2
$$
说明了理想气体温度的高低直接反映了分子平均平动动能的大小。
能量均分定理
- 平动自由度t，转动自由度r，振动自由度s
定义气体内能：气体的内能是指它所包含的所有分子的能量和分子之间的相互作用的势能的总和。
对理想气体，其气体内能：
$$
E=N\bar{\varepsilon}=\frac N2(t+r+2s)kT
$$
或写作
$$
E=\frac \nu2(t+r+2s)RT
$$
因此1 mol 气体的内能为
$$
E_m=\frac 12(t+r+2s)RT
$$
有此结论：对于理想气体，其内能是一个只与气体分子数$(\nu)$和温度$(T)$有关的量。
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布函数：
$$
f(v)=4\pi^2\left(\frac{m_f}{2\pi kT}\right)^{3/2}e^{-m_fv^2/2kT}
$$
分布函数的归一化条件：
$$
\int_N\frac{\mathrm dN_v}{N}=\int_0^\infty f(v)\mathrm d v=1
$$
三个特征速率（从小到大）：
最概然速率
$$
v_p=\sqrt{\frac{2RT}M}
$$平均速率
$$
\bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}
$$方均根速率
$$
\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}
$$
分子的平均碰撞频率，平均自由程
平均自由 $\bar\lambda$ 与平均碰撞频率 $\bar Z$ 的关系为：
$$
\bar\lambda = \frac{\bar v}{\bar Z}
$$
进一步，有：
$$
\bar Z = \sqrt 2n\pi d^2\bar v
$$
$$
\bar\lambda = \frac 1{\sqrt 2 n\pi d^2}=\frac{kT}{\sqrt2 \pi d^2p}
$$
输运现象
当系统各部分的宏观物理性质如流速、温度或密度不均匀时，由于分子的热运动，系统将逐渐过渡到平衡态，这种过渡称为输运过程，常见的输运过程有如下三种：
粘性现象（动量的输运）
$$
\mathrm d F=-\eta\left(\frac{\mathrm du}{\mathrm d y}\right)\mathrm S
$$
其中黏度$\eta$：
$$
\eta = \frac13 nm_f\bar v\bar \lambda
$$
热传导（能量的输运）
$$
\mathrm dQ=-\kappa\frac{\mathrm dT}{\mathrm dy}\mathrm dS\mathrm dt
$$
其中热导率$\kappa$：
$$
\kappa = \frac13 nm_f\bar v\bar\lambda\frac{C_{V,m}}{M}
$$
扩散（质量的输运）
$$
\mathrm dm=-D\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dy}\mathrm dS\mathrm dt
$$
其中扩散系数$D$：
$$
D=\frac13\bar v\bar \lambda
$$