《经济学思维与观察》+经典纳什均衡分析。
简介
纳什均衡（Nash equilibrium），又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作支配性策略。如果任意一位参与者在其他所有参与者的策略确定的情况下，其选择的策略是最优的，那么这个组合就被定义为纳什均衡。
或表述为满足该性质的均衡：任何一位玩家在此策略组合下单方面改变自己的策略（其他玩家策略不变）都不会提高自身的收益。
给定情形下的纳什均衡点 不一定 只有一个
在多次博弈的局面中，考虑“以牙还牙”策略，纳什均衡点可能会被改变
经典案例分析
石头剪刀布博弈
石头剪刀布游戏中的收益矩阵：
| 玩家1\玩家2 | 石头 | 剪刀 | 布 |
|---|---|---|---|
| 石头 | 0，0 | 1，-1 | -1，1 |
| 剪刀 | -1，1 | 0，0 | 1，-1 |
| 布 | 1，-1 | -1，1 | 0，0 |
设双方使用石头，剪刀，布的概率分别为 $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 与 $\left(x_2, y_2, z_2\right)$
如果此时策略组合$\left(\left(x_1, y_1, z_1\right),\left(x_2, y_2, z_2\right)\right)$是纳什均衡，则意味着玩家1分别使用石头、剪刀、布这三种策略来面对玩家2的策略时的收益是相等的，否则玩家1就可以通过只使用收益最高的那一种策略来提高收益，与纳什均衡定义矛盾。于是有如下方程成立：
$$
y_1-z_1=-x_1+z_1=x_1-y_1
$$
再结合
$$
x_1+y_1+z_1=1
$$
解得
$$
x_1=y_1=z_1=\frac13
$$
对于玩家2同理。因此，此游戏存在唯一纳什均衡$\left(\left(\frac 13, \frac 13, \frac 13\right),\left(\frac 13, \frac 13, \frac 13\right)\right)$，即双方等概率选择三种策略。
饿狮博弈
假设有A、B、C、D、E、F六只狮子和一只绵羊。假设狮子A吃掉绵羊后就会打盹午睡，这时狮子B就会趁机吃掉狮子A，接着B也会午睡，然后狮子C就会吃掉狮子B，以此类推。那么问题来了，狮子A敢不敢吃绵羊？
解析：
- 从最后一只狮子F开始分析，如果E打盹午睡，那么F可以没有顾忌地吃掉E。
- 于是E不能选择吃掉前一只狮子。
- 于是D可以没有顾虑地吃掉C（如果C午睡打盹）。
- 于是C不能选择吃掉前一只狮子。
- 于是B可以没有顾虑地吃掉A（如果A午睡打盹）。
- 所以狮子A不敢吃绵羊。
| A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 不吃 | 吃 | 不吃 | 吃 | 不吃 | 吃 |
如果考虑在F后增加一只狮子，总数变成7只，用相同的方法分析，可以得出：狮子A敢吃绵羊。
对比两次博弈我们发现，狮子A敢不敢吃绵羊取决于狮子总数的奇偶性，总数为奇数时，A敢吃掉绵羊；总数为偶数时，A则不敢吃。因此，总数为奇数和总数为偶数的狮群博弈结果形成了两个稳定的纳什均衡点。