课本狭义相对论关键知识点。
本文中
$$
\beta = \frac vc
$$$$
洛伦兹因子\ \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}
$$
洛伦兹坐标变换
从 $S$ 系到 $S’$ 系的空间、时间坐标变换为：
$$
x’= \gamma\left(x-vt\right)
$$
$$
y’= y
$$
$$
z’= z
$$
$$
t’ = \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)
$$
其中，$v$ 为 $S’$ 系相对于 $S$ 系的速度。
下面用洛伦兹变换讨论时间的相对性，时间延缓效应，长度收缩效应。
时间的相对性
在 $S$ 系中发生的两事件A、B，在 $S’$ 系中：
$$
\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x \right)
$$
若两事件在 $S$ 系中是同时不同地发生的， 在 $S’$ 系中是不同时发生的。
并且，在两个参考系中，事件发生的先后可能会不同。
但是，如果两个事件不会违反因果律：
$$
\Delta t’ = \gamma\Delta t \left(1 - \frac{v}{c^2}\frac{\Delta x}{\Delta t} \right)
$$
具有因果关系的事件一定有某种信号传递，$\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 是传递信号的速度，它不大于光速，这保证了$\Delta t’$ 与 $\Delta t$ 的同号，因此，因果事件的时间顺序经洛伦兹变换后不会颠倒，保证了因果律。
时间延缓
在 $S’$ 系中同一地点发生的两事件A、B，$\Delta t’ = t_2’ - t_1’$，$\Delta x’ = 0$
$$
\Delta t = \gamma \left(\Delta t’ + \frac{v}{c^2}\Delta x’ \right) =\gamma \Delta t’
$$
其中 $\Delta t’$ 是原时，上式即为时间延缓公式。
长度收缩
在 $S’$ 系中同一时间发生的两事件A、B，$\Delta x’ = x_2’ - x_1’$，$\Delta t = 0$
$$
\Delta x’ = \gamma \left(\Delta x - v\Delta t \right) =\gamma \Delta x
$$
$$
即\Delta x = \frac{\Delta x’}\gamma
$$
其中 $\Delta x’$ 是原长，上式即为长度收缩公式。
洛伦兹速度变换
从 $S$ 系到 $S’$ 系的速度变换为：
$$
u’_{x’}=\frac{u_x - v}{1-\frac{v}{c^2}u_x}
$$
$$
u’_{y’}=\frac{u_y}{\gamma \left(1-\frac{v}{c^2}u_x\right)}
$$
$$
u’_{z’}=\frac{u_z}{\gamma \left(1-\frac{v}{c^2}u_x\right)}
$$
Simple Example：
A粒子向左 0.9c 速度运动，B粒子向右 0.9c 速度运动，求B粒子相对于A粒子的速度大小。
将 $S’$ 系建立在 A 上，记向右为正方向，则 $u_x = 0.9c$ , $v = -0.9c$
$$
u’_{x’}=\frac{u_x - v}{1-\frac{v}{c^2}u_x} = \frac{0.9c-\left(-0.9c\right)}{1-\frac{-0.9c}{c^2}0.9c}=0.994c
$$
狭义相对论动力学
相对论质量
$$
m = \gamma m_0
$$
相对论动量
$$
\boldsymbol p= m\boldsymbol v = \gamma m_0 \boldsymbol v
$$
相对论能量
$$
E = mc^2
$$
分为两部分：动能与静能
$$
E_k=mc^2-m_0c^2
$$
$$
E_0=m_0c^2
$$
由上，还可导出相对论中动量能量关系式。
$$
E^2=p^2c^2+m_0^4c^4
$$
即$E\ \ pc\ \ m_0c^2 $ 可以构成一个以$E$为斜边的直角三角形。