课本流体力学关键知识点。
连续性方程
$$
S_1v_1=S_2v_2
$$
表明不可压缩的流体在同一流管中作定常流动时，流管的横截面积与该处平均流速的乘积为常量。
$$
S_0v_0=S_1v_1 + S_2v_2 + \dots + S_nv_n
$$
这是在分支流管中连续性方程的形式。
伯努利方程
$$
p + \rho gh + \frac12\rho v^2 = const
$$
表明理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处的压强、流体单位体积的势能与单位体积动能之和都是相等的。
应用：
空吸作用
小孔流速
托里拆利 $Torricelli$ 公式：$v = \sqrt{2gh}$
流速管
流量计
牛顿黏性定律
$$
F=\eta\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}S
$$
表明黏性力$F$的大小与其分布的面积$S$成正比，与该处速度梯度成正比。
比例系数 $\eta$ 称为黏度或黏性系数 单位：$Pa·s$
层流、湍流、雷诺数
$$
Re = \frac{\rho v d}{\eta}
$$
- $Re < 2000$ 作层流 。
- $2000<Re<3000$ 可作层流也可做湍流，称为过渡流 。
- $Re>3000$ 作湍流。
雷诺数量纲为1， 是判别黏性流体运动状态的唯一参量。
可见：液体的密度、流速，管道直径越大，液体黏度越小，越容易发生湍流。
相应的，液体的密度、流速，管道直径越小，液体黏度越大，越容易发生层流。
黏性流体的伯努利方程
$$
p_1 + \rho gh_1 + \frac12\rho v^2_1 = p_2 + \rho gh_2 + \frac12\rho v^2_2 + w
$$
式中 $w$ 表示单位体积的不可压缩的黏性流体克服黏性阻力所做的功（或损失的能量）。
泊肃叶定律
$$
q_v = \frac{\pi R^4}{8\eta L}(p_1-p_2)
$$
将泊肃叶定律改写成以下形式：
$$
q_v = \frac{\Delta p}{R_f}
$$
其中 $\Delta p$ 为压强差，$R_f = \frac{8\eta L}{\pi R^4}$ 称为流阻
可见：牛顿黏性流体在均匀水平流管中流动时，流量与管两端的压强差成正比，与其流阻成反比。
若流体连续通过n个流阻不同的管子：
串联：
$$
R_f=R_{f1}+R_{f2}+\dots + R_{fn}
$$并联
$$
\frac1{R_f}=\frac1{R_{f1}}+\frac1{R_{f2}}+\dots +\frac1{R_{fn}}
$$
斯托克斯定律
对于$Re<1$，运动速度不大的球形物体，黏性阻力可如下表示：
$$
F_f=6\pi \eta rv
$$
若小球密度为$\rho$，流体密度为$\rho’$，则达到终极速度（沉降速度）时：
$$
\frac43\pi r^3\rho g = \frac 43\pi r^3 \rho’ g + 6\pi\eta rv_t
$$
即沉降速度为：
$$
v_t = \frac29\frac{gr^2}{\eta}(\rho - \rho’)
$$