研究形如 f(x+y)=f(x)+f(y) 的方程的性质。
柯西方程是形如 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 等的一类函数方程，由柯西最早做出相关研究，此方程称为“加性柯西方程”，它的解是正比例函数。
在有理数域上，可以利用初等代数得到其正比例函数的解。
在实数域上，需要更多的条件使它的解为正比例函数。
在有理数中的证明
在实数域上的证明
- 补充条件：f(x) 在实数域上连续
由于函数连续，且有理数稠密，不难说明 f(x) = xf(1) 在 x 为任意实数上成立（利用有理数逼近）。
其他方程向柯西方程的转化
在一定条件下，可以做如下转化。（转化时要注意定义域是否允许转化）
$f(xy)=f(x)f(y)$ -> $g(x) =\ln(f(e^x))$ 为加性函数
$f(x+y)=f(x)f(y)$ -> $g(x)=\ln f(x)$ 为加性函数
$f(xy)=f(x)+f(y)$ -> $g(x)=f(e^x)$ 为加性函数
利用求解柯西方程思想完成其他证明的案例：
