关于场论中散度与旋度的直观理解。
在开始之前，我们引入 $Hamilton$ 算子
$$
\nabla= \{\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\}
$$
梯度
- 是标量场的一个矢量场。
- 表征了每一点最大方向导数的方向。
- $grad\ u=\nabla u$
散度
- 是矢量场的一个标量场。
- 表征了矢量场在某一点处的发散程度。
- $div\ \boldsymbol F = \nabla·\boldsymbol F$
旋度
- 是矢量场的一个矢量场。
- 表征了在矢量场下某一点的旋转方向。
- $rot\ \boldsymbol F = \nabla\times\boldsymbol F$
由此
了解梯度，散度，旋度的几何意义之后，我们惊奇地发现，课本上给出的所有推论，似乎都变得非常直观了。
Gauss定理
$$
\int\kern{-8pt}\int \limits_S\kern{-23mu} \bigcirc (\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n)\mathrm{d}S=\iiint\limits_V(\nabla\cdot\boldsymbol F)\mathrm dv
$$
描述的是这么一件事情：$\boldsymbol F$ 穿过 $S$ 的流量等于其散度在 $S$ 包围区域上的三重积分。
（即：该区域的总涌出值）
Stokes定理
$$
\iint\limits_S(\nabla\times\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n\mathrm dS= \oint_L \boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r
$$
描述的是这么一件事情：旋度场 $\boldsymbol{rot\ F}$ 穿过曲面 $S$ 的流量等于 $\boldsymbol F$ 沿 $S$ 边界的环量。
（即：这个区域的 “总旋度” ）