介绍一些展开函数为级数、级数求和的方法。
展开为幂级数
函数展开为幂级数的常用方法有“直接法”和“间接法”。由于“直接法”需计算函数的任意阶导数，所以作直接展开是较困难的。更多情况是作间接展开。
直接法
尽管困难，但仍是一个很重要的方法，核心是求出任意阶导数，给出一道例题：
将$\displaystyle y=\frac{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{1+x^2}}$ 在$x_0=0$处展开为幂级数。
$\ \ $解： 对 $y$ 求导，化简得到：$(1+x^2)y’=1-xy$.
利用 Leibniz 公式，两边对 x 求 n 阶导数，化简得：$y^{(n+1)}=-n^2y^{(n-1)}$
由 $y(0)=0$，$y’(0)=1$，递推得到 $y^{(2n)}(0)=0$，$y^{(2n+1)}(0)=(-1)^n((2n)!!)^2$
于是 $\displaystyle y=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{y^{(k)}(0)}{k!}x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{y^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n((2n)!!)^2}{(2k+1)!}x^{2k+1}$
间接法
以下是几个常用的麦克劳林展开式：
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$，$x\in(-\infty,\infty)$
$sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$x\in(-\infty,\infty)$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$，$x\in(-\infty,\infty)$
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\dots=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}$，$x\in(-1,1]$
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}+\dots$，$x\in(-1,1)$
特别有：$\frac 1{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\dots=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$， $x\in(-1,1)$
利用“间接法”展开幂级数的方法有：变量替换、加减运算（拆项）、幂级数的逐项求导，逐项积分。
其目的都是：将待展开式变形为上述已知的麦克劳林展开式。
拆项化简
将 $\displaystyle \mathrm {ch}\ x$ 在$x_0=0$处展开为幂级数。
$\ \ $解：$\displaystyle \mathrm{ch}\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ ，$|x|<+\infty$
逐项积分
将 $\displaystyle \arctan x$ 在$x_0=0$处展开为幂级数。$(|x|<1)$
$\ \ $解：$\displaystyle \arctan x=\int_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\int_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\mathrm dt=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$
逐项求导
将 $\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}$ 在$x_0=0$处展开为幂级数。$(|x|<1)$
$\ \ $解：$\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)’=\sum\limits_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n$